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4 練習

  1. ガウス・ザイデル法で以下のポアソン方程式の境界値問題を解くプログ ラムを作成せよ。
    $\displaystyle \nabla^2 u(x,y)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho(x,y), \quad(x_0\le x \le x_1, y_0 \le y< \le y_1)$ (15)
    $\displaystyle u(x_0,y) = u(x_1,y)$ $\textstyle =$ $\displaystyle u(x,y_0) = u(x,y_1) = 0$ (16)

    ただし、 $x_0=y_0=0$, $x_1=y_1=1$ としてよい(入力パラメータとして読め る汎用的なプログラムを作ってくれればもちろんそのほうがよい)。 さらに、 $\rho(x,y) = \sin \pi x \sin \pi y $ として、初期推定 $\mbox{\boldmath$u$}=0$ から出発した時に を空間刻み $n_x$ ($n_y=n_x$ としてよい) のいくつかの値について調べ、そ れから精度が$n_x$の何乗になっているか議論せよ。

  2. さらに、 SOR について同様に調べよ。最適な $\omega$ の値は $n_x$ に依存するかどうかも議論すること。

  3. $\rho(x,y) = \sin k\pi x \sin k\pi y $ ($k$は整数)の時に、誤差は どうなるか、理論的または数値的(両方あればそれもOK)議論せよ。

  4. $\rho$ がデルタ関数 $\delta(x-0.5,y-0.5)$ の時に、厳密解をフーリ エ級数の形で表せ。
  5. 上と同じデルタ関数の時に数値解を求めて、 $y=0.5$ の線上で誤差が どのように分布するか調べよ。また、誤差の等高線表示や3次元表示を適当な ツールを使って作ってみよ。(PGPLOT には等高線表示をするサブルーチンが準 備されている)

  6. 例えば3次元的な星の自己重力を計算するためには、境界条件を「無限 遠で 0 」という形に置く必要がある。これにはどうすればよいか検討せよ。



Jun Makino
平成16年11月8日