Contents

• 第1章 はじめに
  • 1.1 参考書
  • 1.2 評価
  • 1.3 講義内容
• 第2章 なぜ数値解法をやるのかということ
  • 2.1 可積分と非可積分
• 第3章 解の存在
  • 3.1 初期値問題の解の存在
• 第4章 数値解法の基本： Euler method
  • 4.1 Euler 法---一変数の場合
  • 4.2 例：線形方程式の場合
  • 4.3 計算機の精度
  • 4.4 丸め誤差のある場合の収束性
  • 4.5 オイラー法の収束性と打ち切り誤差
  • 4.6 後退オイラー法
  • 4.7 もう少し賢い方法
• 第5章 ルンゲ・クッタ法
  • 5.1 二次のルンゲ・クッタ法
  • 5.2 公式の次数について
  • 5.3 RK法の一般形
  • 5.4 古典的 Runge-Kutta法
  • 5.5 陽公式の到達可能次数
  • 5.6 刻み幅調節と埋め込み型公式
• 第6章 陰的ルンゲクッタ公式
  • 6.1 ガウス型数値積分
  • 6.2 数値積分に関する話の続き
  • 6.3 ガウス型公式の次数
  • 6.4 微分方程式への積分公式の適用
  • 6.5 代数方程式の扱い
  • 6.6 ガウス型以外の陰的公式
• 第7章 線形多段階法
  • 7.1 線形多段階法の考え方
  • 7.2 アダムス法
  • 7.3 出発公式
  • 7.4 陰的アダムス法
  • 7.5 誤差
  • 7.6 ニュートン補間とアダムス公式の実用的導出
  • 7.7 時間刻みを変える時
  • 7.8 計算中の誤差評価
  • 7.9 ルンゲ・クッタとの比較
• 第8章 外挿法
  • 8.1 数値積分における外挿
  • 8.2 多項式近似の一般論
  • 8.3 ロンバーグ加速
  • 8.4 グラッグ法
  • 8.5 いくつかの話題
    • 8.5.1 振動と平滑化
    • 8.5.2 有理式補外
  • 8.6 時間刻みのとりかた
• 第9章 微分方程式と数値解の安定性
  • 9.1 定常解の局所的安定性
  • 9.2 特別な場合---散逸のない系
  • 9.3 非線形領域での解
    • 9.3.1 極限周期軌道を持つ場合
    • 9.3.2 カオス的な場合
    • 9.3.3 リヤプノフ指数
• 第10章 数値解の安定性
  • 10.1 陽的オイラー法の安定性
  • 10.2 後退オイラー法の安定性
  • 10.3 線形多段階法の安定性に関する一般論
  • 10.4 陽的ルンゲ・クッタ公式の安定性
  • 10.5 陰的ルンゲ・クッタ公式の安定性
  • 10.6 補外法の安定性
• 第11章 硬い微分方程式
  • 11.1 「硬さ」の定義
  • 11.2 A-安定性
  • 11.3 安定な公式を使う上での問題
  • 11.4 完全陰的ルンゲクッタ以外の方法
    • 11.4.1 ギアの後退差分公式(BDF)
    • 11.4.2 半陰的ルンゲクッタ
  • 11.5 課題
• 第12章 ハミルトン系とそのための解法
  • 12.1 簡単な例題
  • 12.2 2階の微分方程式向きの方法
    • 12.2.1 Stormer-Cowell 法
    • 12.2.2 Runge-Kutta-Nystroem 法
    • 12.2.3 外挿法
  • 12.3 リープフロッグ公式
  • 12.4 数値例
    • 12.4.1 調和振動子
    • 12.4.2 非線形振動
  • 12.5 シンプレクティック公式
    • 12.5.1 陽解法
    • 12.5.2 陰解法
    • 12.5.3 シンプレクティック公式の意味
  • 12.6 シンプレクティック公式の問題点と対応
  • 12.7 問題
  • 12.8 対称型公式
    • 12.8.1 対称型公式とは
    • 12.8.2 ハミルトン系用の陽的対称型RK公式
    • 12.8.3 対称型線形多段法
    • 12.8.4 エルミート型公式
    • 12.8.5 対称型一段公式における時間刻みの変更
    • 12.8.6 対称型一段公式における時間刻みの変更:別のアプローチ
• 第13章 ハミルトン系用の解法の安定性と「正しさ」
  • 13.1 線形安定性と P-安定
    • 13.1.1 多段階法に対する周期性区間
    • 13.1.2 例： leapfrog 公式
    • 13.1.3 P-安定性
    • 13.1.4 有限の周期性区間を持つ多段階法
    • 13.1.5 ルンゲクッタの場合
  • 13.2 線形問題の場合の数値解と真の解の関係
  • 13.3 非線形問題の場合
    • 13.3.1 周期解の場合
    • 13.3.2 非周期解の場合
  • 13.4 振動的に硬い方程式系
  • 13.5 レポート問題追加
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