6 問題

1. 上に紹介した吉田による解説記事を参考に、 4 次および 6 次のシンプ レクティックな RK 法をプログラムしてみよ。また、書いたプログラムを使っ て
   • 一次元調和振動子
   • ケプラー問題
   など、厳密解のわかっているハミルトン系の数値解を求め、特に長時間積分の 時の誤差をシンプレクティックでない公式での解と比較せよ。また、ステップサイズ と積分時間への誤差の依存性を実験的に求め、理論的に予測される結果とあう かどうか調べよ。

2. 2次および4次の陰的ガウス法について同様なことを試みよ。

3. 以下のポテンシャルの下での一次元振動について

   

   1. 等時間刻みの 4次シンプレクティック法（例えば吉田の方法）を使って時間積 分することを試みよ。安定な解を得るためにはステップサイズがどの程度であ る必要があるか？なお、計算例としては例えば としてみよ。
   2. 適当な方法で可変時間刻みにして、精度と計算量（ステップ数）の関係 を等時間刻みの場合と比較せよ。
4. 重力多体問題

   

   は特別な初期条件を除いては安定な軌道を持たない。数個の粒子の場合につい て適当な初期条件からいろいろな方法で数値積分し、しばらく計算した後での 答を比較してみよ。さらに、結果が「正しい」ということができるのはどうい う場合かを考察せよ。