4 練習

プログラムが必要なものはプログラムを提出 すること。

1. ２次元ケプラー問題

   
   

   $$\frac{d^2 \mbox{\boldmath$x$}}{dt^2} = -\frac{\mbox{\boldmath$x$}}{x^3}$$ (52)

   
   

   について、古典ルンゲクッタと leap frog の両方で、適当な初期条件（解が 楕円になるものをとること）から出発して 10, 1000, $10^6$ 周期後の解の厳 密解からの誤差が刻み幅のどのような関数になるか調べよ。ここでは刻み幅は 固定とする。

2. 4次のシンプレクティック公式は、 $L(h)$ が刻み幅 $h$ の leap frog を表す作用素であるとして、以下のように書ける。
   

   $$S_4(h) = L(d_1h)L(d_2h)L(d_1h),$$

   $$d_1 = 1/(2-2^{1/3}),\quad d_2 = 1-2d_1 = -2^{1/3}/(2-2^{1/3})$$ (53)

   
   

   つまり、リープフロッグでまずちょっと行き過 ぎて、次に逆に戻って、最後に最初と同じだけ進んで次の時刻に行くというも のである。これをプログラムし、 1 と同様な解析を行なえ。

3. 4次のエルミート公式についても同様な解析を行なえ。説明されている ものは陰的公式なので、予測子に何を使えるかは各自検討すること。

4. 2.1 で述べた古典的 RK 法で誤差の調整をする方法をプログラムし、離 心率の大きなケプラー問題について刻み一定の場合にくらべてどの程度得にな るか調べてみよ。