3 CBEの線形化

何度も出てきたがもう一回式を書いておく。

$${\partial f \over \partial t} + {\bf v}\cdot \nabla f - \nabla \Phi \cdot {\partial f \over \partial {\bf v}} = 0,$$ (15)

ここで $f$は6次元位相空間での分布関数である。$\Phi$ は重力ポテンシャ ルであり、以下のポアソン方程式の解として与えられる。

$$\nabla ^2 \Phi = - 4\pi G \rho.$$ (16)

$G$ は重力定数であり、 $\rho$ は空間での質量密度

$$\rho = m\int d{\bf v}f,$$ (17)

である。 これを流体の時と同様に線形化して、その振舞いを調べる。分布関数を $f_0 + f_1$、ポテンシャルを $\Phi_0 + \Phi_1$とし、添字0がつくほうは定常解で あるとして式を整理すれば

$${\partial f_1 \over \partial t} + {\bf v}\cdot \nabla f_1 - ... ...\nabla \Phi_1 \cdot {\partial f_0 \over \partial {\bf v}} = 0,$$ (18)

$$\nabla ^2 \Phi_1 = - 4\pi G \int f_1 d{\bf v}.$$ (19)

ということになる。これが線形化された無衝突ボルツマン方程式である。