今日は、これまで断片的に扱ってきた連星の役割について少しまとめて議論す る。
連星の基本的な働きは、単一星ではないことによって2体の近接遭遇をより複 雑なものにすることである。普通の物質でいえば連星は分子や、複数の核子か らなる原子核にあたる。結合状態になることによって熱エネルギーを出すわけ である。
しかし、普通の分子や原子核とは根本的に違うところがある。それは、 分子や原子核はその構成要素が原子や素粒子であり、それぞれを考える普通の エネルギー状態では量子力学的な基底状態があってあるところまでしかエネル ギーを出すことができない。また、基底状態のものは基本的に安定で、エネル ギーや角運動量といったものが保存する。これに対して、恒星系の連星では
といったわけで、通常の化学反応や原子核反応とはある程度アナロジーが成り 立つが、それは「ある程度」にとどまるものである。
まず、特に2体緩和による進化を考える上では有用であった熱力学的(統計力学 的)議論を連星がある場合にまで拡張することを考える。
単純な例として、断熱壁(完全反射壁)で囲まれた空間の中に粒子が3個ある場 合を考えてみよう。簡単のため、系全体のエネルギーは正(重力エネルギーよ り運動エネルギーが大きい)とする。
粒子3つの系で統計力学を考えることに意味があるのかというのは自明な問題 ではないが、ここではとりあえず意味があるという前提で話を進める。
普通の、例えば van der Waals 力で相互作用する粒子からなる系であれば、 これくらいの粒子数でも相転移を起こす。つまり、エネルギーがある程度より 高いなら3つが勝手に飛び回る状態が安定状態であり、エネルギーが低いなら 結合した状態が安定状態である。これは、直観的には、エネルギーが高い 時には、束縛エネルギーの分損をしても、粒子が動く範囲を広げることができ るほうがエントロピーを増やすことができる(位相空間が広い)のに対して、エ ネルギーが低い時には空間内で動く分を犠牲にしても束縛エネルギーの分運動 エネルギーを増やしたほうがエントロピーを増やすことができるからである。 もちろん、エネルギーが非常に低いと粒子3個とかだとそもそも全部が集まっ た状態しか存在しえない。
そういうわけで、上の説明は、普通の分子間力とかであれば、気相か液相かは 温度で決まる、という極めて普通の話である。運動エネルギーが結合エネルギー より十分大きいなら気相になる。これを自己重力系に適用しようとしてみる。
問題は、質点近似の範囲では結合エネルギーが有限ではないことである。
上の、通常の分子間力の議論では、結合エネルギーに最低値があるので、それ と無限遠での値との差が気相と液相の境界を決めるエネルギースケールになる。 しかし、重力3体問題ではそのようなエネルギースケールは存在しない。この ことは、原理的には、運動エネルギーがどんなに高いものを考えても、 十分に軌道半径が小さい連星を作れば全体としてはエントロピーを増やすこと ができる、ということを意味する。
ここではエントロピーという言葉をかなり適当に使った。通常であればエント ロピーはあるエネルギーの系のとりえる状態全体に対して定義するものなので、 ここで書いたような、連星のエネルギー毎にエントロピーを計算するような表 現は少しおかしい。が、連星のエネルギーが変わらない範囲では定義できるの で、そういう定義だと思って欲しい。
この意味では、連星の軌道長半径を小さくしていけばエントロピーはいくらで も増やすことができることになる。言い換えると、安定な熱平衡状態はそもそ も存在していない。
安定な熱平衡状態が存在していない時に熱力学的な議論から系の状態について 何かいうことはそもそも可能か？というのは原理的な困難がある問題だが、 こういう時には思考実験が重要である。
実際に3つ粒子をいれて自由に運動させたら、ほとんどの場合はそれらは勝手 に運動している。たまに2つが近接遭遇して散乱され、エネルギーを交換する が、2体運動では相対運動のエネルギーは保存するのでそれによって2つが結合 状態になることはない。
たまたま3つが非常に近づくようなことがあると話は変わってくる。 確率的には、そのうち2つが結合状態になることが起こりえるからである。
では、できた連星がどうなりそうか、というのを少し考えてみる。
まず、結合エネルギーが小さい場合を考える。軌道長半径は大きく、軌道速度 は(3個目の粒子との相対速度に比べて)小さい。この時には、3個目の粒子が近 くを通った時の影響は、インパルス近似で評価できる。
インパルス近似は、相互作用している間に位置が変わらないものとして 速度変化を直線軌道を積分して求める方法である。
この時、連星の星同士の相対速度には、統計的にはランダムな変化が加わること になる。基本的には2体緩和と同じであり、元々の2つの星の相対速度が小さい のでこれを加熱、つまり加速する項が効く。この結果、軌道長半径が大きい連 星は、他の星との相互作用でますます軌道長半径が大きくなり、最終的には分 解してしまうことになる。
これに対して、軌道長半径が十分小さい場合を考えてみよう。
この時には上ののインパルス近似のような議論は難しいが、自由度を 連星の内部運動と、連星の重心と3つめの星の相対運動の2つに分けて考えると 内部運動のほうに大きな値がある。従って、確率的には相互作用の結果、内部 運動のエネルギーを3つめの星の運動エネルギーに渡す方向になる。つまり、 連星は軌道長半径をより小さく、軌道運動の速度をより大きくする。
ここまでの議論をまとめると、連星は
という性質をもつように思われる。
上の性質を、システマティックに連星と第3星との相互作用を扱い、近似的な 議論や統計的な議論と数値積分の結果を比較して議論したのが Heggie (1975, MNRAS 173, 729-787) である。ページ数からわかるように 59ページあ る長大な論文である。
Heggie が示したことは、基本的には上の思考実験は正しく、連星がよりハー
ドに(結合エネルギーが大きく) なるかどうかは結合エネルギーと周りの星の
平均的な運動エネルギーの比で決まる、ということである。境界の値は 
[
が平均の運動エネルギーとして]である。
もうひとつ重要なことは、ハードな連星がよりハードになるための主要なプロ セスは、他の星が非常に近くを通り、1つと交換(exchange)するとか、しばらく 3体が結合状態になってから1つが打ち出されるとかいった強い相互作用 (resonant interaction)が主であるということである。2体緩和の時のような、 遠くを通ったものの摂動はあまり効かない。
これは、連星のエネルギーは断熱不変量で、場のゆっくりとした変化ではネッ トに変化しないからである。Exchange や resonant interaction の場合、平均 的には1回の相互作用で連星のエネルギーが 40% 程度増える、ということがわ かっている。
なお、特に resonant interaction の場合、打ち出される星は3つの中でもっ とも軽い星になる確率が高い。これは、熱力学的な議論からもわかることで、 等分配になる傾向があるので軽い星は速度が大きくなるのである。このことは、 相互作用によって連星はより重くなる傾向がある、ということである。
なお、連星の角運動量については、遠くを通った粒子や、それ以前に系全体の ポテンシャルといったものの効果も無視できない。