さて、安定性というものを定義しないといけない。そのために、まず、「定常
解の安定性」というものを考えることにする。定常解とは、 要するにある
というものがあって、
を満たすもののことである。まあ、 x が微分方程式の右辺に入っていると、 特別な条件の下でなければ定常解はないので、以下
の形、つまり右辺に x が入らないものを考える。これを自律型という。こ の時はもちろん定常解の満たす方程式は
ということになる。
さて、この解が局所的に安定かどうかというのは、以下のような意味であると 考えられるであろう。
「なんらかの理由（外乱とか）で、定常解から少し離れたところに解がいった 時に、もとの解にもどる」ということをさして安定であるという。
ちょっと図に例を示してみよう。左の図のように、盛り上がったところの一番 上にボールかなにかをおいたら、ぴったり頂上におけばそれは止まっている。 つまり、頂上は定常解である。 しかし、すこしでも頂上、すなわち定常解からずれたらそのままころげおちて しまう。これは不安定な定常解ということになろう。
これにたいし、右の図のように谷底ならば、すこしずれたらもとのところの戻 ろうとする。さらに、摩擦や空気抵抗があるから、そのうちにもとのところに止 まる。これは安定解ということになる。
仮に、厳密に水平な面が広がっていたとすれば、少し動かすと動かしたところ でそのまま止まっていることになるであろう。これは中立安定状態ということ になる。
上の説明は直観的ではあるが、ちょっと怪しいところがある。この場合どんな 方程式を考えているのであろうか？例えば以下のような方程式ということになろう：
ここで、 
は地面からの力であり、 第二項は抵抗による力である。
抵抗は速度に比例するということにしておく。これはyと 
の2変数
の方程式である。
さて、これの定常解（この場合平衡解という言葉をつかうことのほうが多い） の回りで、解がどう振舞うかを調べてみることにする。平衡解は
である。今、
とおいて元の微分方程式を書き直す。この時、 fが
と近似出来ることに注意すると、
あるいは、行列形式なら
ということになる。これはもちろん以下の形の解を持つ
ここで、 
と
は行列Aの固有値である（今、縮退し
ている場合とかはちょっと置いておく。式は特別になるが振舞いはたいして変
わらない）。
固有方程式は
の形をとる。ここで、
としておく（抵抗が速度
と逆方向に働く）とすれば、k の値によって解の振舞いは5つの領域に分か
れる。
の時。固有値はどちらも負の実数である。
で 
が任意の初期条件についてな
り立つ。つまり安定である。
のとき。固有値が縮退し、解が 
の形になる。安定。
のとき。固有値は複素数だが、実部は負。安定。
一般の微分方程式でも、定常解があればその回りで線形化することで同様な議 論ができることになる。安定であるということの条件は、全ての固有値の実部 が負であるということである。
なお、念のため注意しておくが、一般の場合には、複素固有値で実部が正とい
うばあいもありえる。上の例ではそれが起きなかったのは、 
という条件をつけたからである。これを外す（負性抵抗）と、k<0 の時に振
動しながら平衡値から遠ざかっていく解が現れる（振動的発散）。